Rilassamenti multipli

Si è visto finora il caso semplice di singola costante tempo (in pratica di dielettrico composto da molecole di uguale natura e dimensione); nel caso reale di interesse, cioè nel quale il dielettrico è costituito da tessuto biologico, si avranno più fenomeni di rilassamento, ciascuno con la propria costante di tempo. In prima approssimazione è possibile considerare il caso in cui le costanti di tempo siano notevolmente diverse tra loro $(\tau_1\ll\tau_2\ll\ldots\ll \tau_n)$ sotto questa ipotesi la risposta del dielettrico ad una eccitazione a gradino di ampiezza $E$ può essere rappresentata come sovrapposizione di processi del primo ordine, si ottiene perciò la seguente equazione:

$$\frac{{D(t)}}{{\varepsilon _0 E}} = \varepsilon _\infty + \Delta ... ...{ - t/\tau _2 } ) + ........ + \Delta \varepsilon _n (1 - e^{ - t/\tau _n } )$$

dualmente nel dominio della frequenza:

$$\varepsilon _c (\omega ) = \varepsilon _\infty + \frac{{\Delta \v... ...\tau _2 }} + ...... + \frac{{\Delta \varepsilon _n }}{{1 + j\omega \tau _n }}$$

Possiamo rappresentare separatamente parte reale e parte immaginaria della costante dielettrica complessa in funzione della frequenza: gli andamenti sono quelli riportati in figura .

Figura: Andamento della parte reale della costante dielettrica in frequenza. Rilassamento $\alpha$ relativo a effetti di controioni. Rilassamento $\beta$ dovuto a effetti di polarizzazione delle membrane per effetto Maxwell-Wagner (polarizzazioni interfacciali) e orientazione proteine globulari. Rilassamento $\gamma$ dovuto alla polarizzazione dell'acqua.

Figura: Andamento della parte immaginaria della costante dielettrica in frequenza. I massimi si hanno in corrispondenza di $\omega \tau=1$ . Questo termine tiene conto delle perdite energetiche per orientazione dei dipoli.

Se non vale l'ipotesi $(\tau_1\ll\tau_2\ll\ldots\ll \tau_n)$ , cioè le varie costanti di tempo non sono ben separate e se inoltre non si considera vera l'ipotesi, fatta in precedenza, di variazione di polarizzazione proporzionale $\tau$ alla differenza tra valore finale e valore istantaneo di $\mathbf{P}$ , non è più valida l'equazione di Debye. In questo caso si deve far ricorso ad una equazione integrale ed introdurre una funzione di densità di probabilità $p(\tau)$ normalizzata a 1, formalmente:

$$\frac{{D(t)}}{{\varepsilon _0 E}} = \varepsilon _\infty + (\varep... ...n _\infty ) \cdot \int\limits_0^\infty {p(\tau )(1 - e^{ - t/\tau } )d\tau }$$

La densità di probabilità $p(\tau)$ fornisce la percentuaale di molecole con un determinato $\tau$ rispetto al numero complessivo. In questo caso si ha una situazione più complessa, dal punto di vista del riconoscimento del materiale in esame, perché si devono specificare dei parametri che permettano di identificare $p(\tau)$ e ciò non è semplice visto che i dati sperimentali, sui tessuti biologici, hanno una certa variabilità. Se riscriviamo nel dominio della frequenza l'ultima equazione otteniamo la costante dielettrica complessa:

$$\varepsilon _c = \varepsilon _\infty + (\varepsilon _S - \varepsi... ... }}{{1 + (j\omega \tau )}} - \frac{{j\sigma _S }}{{\omega \varepsilon _0 }}}$$