Equazione di Cole-Kole

Per risolvere il problema di $\tau$ paragonabili si sono studiate varie equazioni empiriche che permettono di parametrizzare i dati sperimentali. Una di queste funzioni di rilassamento empiriche è quella proposta da Cole & Kole:

$$\varepsilon _c = \varepsilon _\infty + \frac{{(\varepsilon _S - \... ...+ (jf/f_c )^{1 - \alpha } }} - \frac{{j\sigma _S }}{{\omega \varepsilon _0 }}$$

Anche questa può essere separata in parte reale ed immaginaria:

$$\frac{{\varepsilon ' \varepsilon _\infty }}{{\varepsilon _S - \va... ... + (f/f_c )^{2(1 - \alpha )} + 2(f/f_c )^{1 - \alpha } \sin (\alpha \pi /2)}}$$

$$\frac{{\varepsilon '' - \sigma _S /\omega \varepsilon _0 }}{{\var... ... + (f/f_c )^{2(1 - \alpha )} + 2(f/f_c )^{1 - \alpha } \sin (\alpha \pi /2)}}$$

Il massimo della funzione di Cole & Cole si ha per $f=f_c$ dove $f_c$ è la frequenza di rilassamento media. Graficamente si ottiene l'andamento in figura :

Figura: Andamento della permittività e della conduttività nell'equazione di Cole-Cole; il parametro di distribuzione $\alpha=0.6$ equivale a considerare un ampio intervallo di tempi di rilassamento.