Equilibrio in presenza di forze esterne

Fino ad ora avevo assunto che le forze esterne non agissero sul sistema. Se assumo che esse siano esprimibili in forma di gradiente di un potenziale scalare, ossia:

$$\vec F_{\textrm{ext}}=-\vec \nabla \phi(\vec r)$$

allora la funzione d'equilibrio assume la forma:

$$f(\vec r, \vec v)=f_0(\vec v)e^{-\phi (\vec r)/k_BT}$$ (1.34)

Analizzando il termine di destra dell'equazione di trasporto di Boltzmann 1.10, si nota subito che non contiene dipendenza temporale e quindi $\partial f/ \partial t =0$ , inoltre il termine di collisione è anch'esso nullo poichè il potenziale è insensibile alla dipendenza da $\vec v$ . Nel termine di sinistra invece appaiono i termini che coinvolgono la velocità, ossia $\vec v \cdot \vec \nabla_r f$ e $\vec F_e/m \vec \nabla_v f_0$ . Questi ultimi non sono nulli singolarmente ma si verifica facilmente che sono di segno opposto, infatti:

$$\vec v \cdot \vec \nabla_r f_0 = -\frac{\vec v \cdot \vec \nabla \phi}{k_BT}f_0(\vec r, \vec v)$$ (1.35)

$$\vec F_e/m \vec \nabla_v f_0 = \frac{\vec \nabla \phi}{m}m \frac{\vec v}{k_BT}f_0(\vec r, \vec v)$$

e quindi la funzione 1.34 rappresenta effettivamente una funzione d'equilibrio, in sostanza si verifica che è l'Hamiltoniano che determina la funzione d'equilibrio, infatti la 1.34 può essere scritta come:

$$f(\vec r, \vec v)=f_0(\vec v)e^{-\phi (\vec r)/k_BT}=C^{\prime \frac{H}{k_BT}}$$ (1.36)

dove $H=\frac{1}{2}mv^2+\phi(\vec r)$ è l'Hamiltoniano del sistema. In breve,

L'energia totale determina il peso statistico della celletta con un rapporto pesato fra energia ed energia termica $\propto e^{-H/k_BT}$