Legame con la termodinamica

L'analogia con la seconda legge della termodinamica è contenuta nel teorema H di Boltzmann. Esso stabilisce che durante l'evoluzione della $f$ verso la forma di equilibrio, la funzione $\mathcal {H}$ ha derivata negativa o al più nulla. Questa funzione H può essere identificata con un entropia per unità di volume fratto la costante di Boltzmann ^1.3:

$$\mathcal{H}=-\frac{S}{Vk_B}$$

In quest'ottica il teorema $\mathcal {H}$ afferma che per un volume prefissato l'entropia non diminuisce mai, questa affermazione è equivalente quindi al secondo principio della termodinamica. Per giustificare la scelta di H calcoliamo all'equilibrio:

$$\mathcal{H}_0=\int{dvf\log f}=n \left[ \log \left[ n \left( \frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2} \right]-\frac{3}{2} \right]$$ (1.37)

che utilizzando l'equazione di stato diventa, poichè la differenza di entropia fra due stati a densità costante è $\Delta S = \frac{3}{2}Nk_B \log{T_f/T_i}$ :

$$-k_BV\mathcal{H}_0=\frac{3}{2}Nk_B \log (PV^{5/3})+ \textrm{costante}$$ (1.38)

si ottiene quindi che il membro di destra di 3.6 è proprio l'entropia di un gas ideale in termodinamica.