Interpretazione del teorema H

Discutiamo ora il significato del teorema $\mathcal {H}$ . L'evoluzione temporale di $\mathcal {H}$ è determinata dall'evoluzione temporale di $f(\vec v,t)$ che in genere non soddisfa l'equazione di trasporto di Boltzmann, infatti essa è soluzione solo negli istanti in cui l'assunzione di caos molecolare è valida (sezione 1.3.1). Il teorema $\mathcal {H}$ afferma che se ad un dato istante $t$ , lo stato del gas soddisfa l'assuzione di caos molecolare, allora all'istante $t+\epsilon$ :

• $\frac{d \mathcal{H}}{dt} \leq 0$
• $\frac{d\mathcal{H}}{dt} = 0$ se e solo se $f(\vec v,t)$ è la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. In particolare il risultato del teorema $\mathcal {H}$ è indipendente dalle ipotesi alla base dell'equazione di Boltzmann, infatti la forma della distribuzione è ricavabile anche con altri approcci.

Si dimostra che quando un gas è in condizione di caos molecolare allora $\mathcal {H}$ ha un picco locale.

Dimostrazione 1.8.1   Si consideri un gas diluito in assenza di forze esterne preparato con condizioni iniziali invarianti per inversione temporale. In queste condizioni la funzione di distribuzione dipende solo dal modulo ma non dalla direzione di $\vec v$ . Assumiamo che il gas all'istante $t=0$ sia in condizioni di caos molecolare. In accordo al teorema H, $\frac{dH}{dt}\leq 0$ al tempo $t=0^+$ .

Si consideri ora lo stesso gas di prima ma con tutte le velocità invertite in direzione. Per questo ''nuovo'' gas varranno le stesse condizioni di prima in particolare $\frac{dH}{dt}\leq 0$ all'istante $t=0^+$ . In altre parole, il futuro del nuovo gas è il passato del gas originale, quindi:

$$\frac{dH}{dt} \leq 0 \textrm{per } t=0^+$$ (1.39)

$$\frac{dH}{dt} \geq 0 \textrm{per } t=0^-$$ (1.40)

ossia H mostra un picco in $t=0$ come illustrato in figura 1.5a.$\Box$

Figura 1.5: Illustrazioni delle implicazioni del teorema H.

Quando H non è un picco locale, come nei punti a e c in figura lo stato del gas non è di caos molecolare. Le collisioni molecolari sono responsabili della variazione temporale di H, esse creano la condizione di caos molecolare quando assente oppure la distruggono quando essa è verificata. E' necessario notare che $\mathcal {H}$ non è una funzione continua del tempo ma può essere interrotta bruscamente a causa delle collisioni. La maggior parte dei valori di $\mathcal {H}$ fluttua in un piccolo range sopra il valor minimo, questo range corrisponde allo stato del gas con distribuzione M-B ed è detto range del rumore. Le caratteristiche di $\mathcal {H}$ possono essere dedotte da argomenti di plausibilità in accordo con l'esperienza, brevemente le caratteristiche sono:

1. Per gli scopi pratici $\mathcal {H}$ non fluttua mai spontaneamente oltre il range del rumore, ossia un sistema all'equilibrio non evolve mai spontaneamente verso il non-equilibrio.
2. Se per caso $\mathcal {H}$ fluttuasse oltre il range di rumore, dopo poche collisioni si riporterebbe subito allo stato relativo all'equilibrio. I punti 1. e 2. costituiscono il secondo principio della termodinamica.
3. H spende la maggior parte del tempo fluttuando nel range di rumore in cui la sua derivata cambia spesso segno. Questo comportamento non confuta il teorema $\mathcal {H}$ che richiede solamente che quando il sistema è in una condizione di caos molecolare allora nell'istante successivo la sua derivata sia minore di 0. Queste piccole fluttuazioni non producono variazioni osservabili nelle quantità termodinamiche. Figura 1.20 c. mostra l'andamento di $\mathcal {H}$ nel tempo: Boltzmann trascura i picchi sostituendo $\mathcal {H}$ con una funzione più smooth, trascurando così la seppur minima probabilità di recupero dello stato precedente.