Fenomeni di trasporto

Per trattare le implicazioni fisiche dell'equazione di trasporto di Boltzmann è conveniente introdurre il concetto di libero cammino medio.

Un gas è fuori dall'equilibrio quando la sua funzione di distribuzione è diversa dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Il più comune caso di situazione di non-equilibrio è quella in cui la temperatura, la densità e la velocità media non sono costanti all'interno del gas. Queste disuniformità vengono ridistribuite dalle collisioni molecolari attraverso il trasporto di energia, massa e momento da una parte del gas all'altra. La distanza media per cui avvengono queste collisioni è detta libero cammino medio. Esso rappresenta una media dello spazio percorso da una particella fra due collisioni successive. Il numero di collisioni che avvengono per unità di tempo e di volume in un punto $\vec r$ in un gas è fornito dall'integrale:

$$\int{Rd\vec v}=\int{d\vec v_1 d\vec v_2 d\Omega \sigma(\Omega)\vert\vec v_1-\vec v_2\vert f(\vec v_1,t)f(\vec v_2,t)}:=Z$$ (2.1)

Ogni collisione interrompe 2 cammini molecolari, indichiamo con $\delta N$ il numero di cammini terminati nel volume $d \vec r$ per unità di tempo:

$$\delta N=2Zd\vec r$$

Poichè nel volume $d \vec r$ sono presenti $n(\vec r) d\vec r$ molecole, allora il numero di cammini interrotti da una molecola nell'unità di tempo risulta:

$$\frac{2Zd\vec r}{n(\vec r) d\vec r}=\frac{2Z}{n}$$

Questo numero rappresenta la frequenza di collisione e si misura in [Hz]. Esso può dipendere dalla posizione e variare nel tempo. Supponendo che fra due collisioni successive le particelle si muovano di moto rettilineo uniforme, allora il tempo caratteristico di collisione è:

$$\tau = \frac{n}{2Z}$$ (2.2)

che conduce ad un libero cammino medio $\lambda$

$$\lambda = \bar v \tau =\bar v \frac{n}{2Z}$$ (2.3)

dove $\bar v$ sta a rappresentare la velocità media. Tutte queste quantità sono definibili all'equilibrio dove $\bar R=R$ e per ipotesi la sezione d'urto $\sigma (\Omega) \not \propto \Omega$ . Supponiamo quindi che le molecole siano sfere indeformabili di raggio $a$ , la loro sezione d'urto sarà $\sigma=\pi a^2$ . In questo caso

$$Z=\pi a^2 n^2 \left( \frac{m}{2\pi k_BT} \right)^3 \int{d\vec v_1... ...\, \exp\left[{-\frac{m(v_1^2+v_2^2)}{2k_BT}}\right]\vert\vec v_1-\vec v_2\vert}$$ (2.4)

L'integrale 2.4 si risolve introducendo la velocità relativa e del centro di massa. Il risultato finale fornisce:

$$\tau = \frac{n}{2Z}=4n^2\sigma_{\textrm{tot}} \frac{\bar v}{\sqrt{2 \pi}}$$ (2.5)

Il numero di collisioni per unità di tempo aumenta all'aumentare di $n^2, \bar v,\sigma$ . Si può notare invece che il libero cammino medio non dipende dalla temperatura. ^2.1

$$\lambda = \frac{1}{4 n \sigma_{\textrm{tot}}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$