Leggi di conservazione

Per investigare i fenomeni fuori dall'equilibrio, dobbiamo risolvere l'equazione di trasporto di Boltzmann con condizioni iniziali date per ottenete la funzione di distribuzione come funzione del tempo $t$ . Alcune proprietà della soluzione possono essere ottenute da leggi di conservazione nelle collisioni molecolari. Denotiamo con $\chi (\vec r, \vec v)$ una quantità associata ad una molecola di velocità $\vec v$ posta in $\vec r$ . Se $\chi$ rappresenta una legge di conservazione, ossia se $\chi_1 \equiv \chi (\vec r_1,\vec v_1)$ :

$$\chi_1+\chi_2 = \chi_1^\prime + \chi_2^\prime$$

allora vale il seguente teorema:

Teorema 2.1.1  

$$\int{ \chi(\vec r, \vec v_1, t)\frac{\partial f}{\partial t}_{\textrm{coll}}d\vec v}=0$$ (2.6)

dove $\frac{\partial f}{\partial t}_{\textrm{coll}}$ è il membro di destra dell'equazione di Boltzmann 1.10 e non è necessario che $f$ sia una sua soluzione.

Dimostrazione 2.1.1   Per definizione di $\frac{\partial f}{\partial t}_{\textrm{coll}}$ abbiamo, scambiando al primo passo $1\rightarrow 2$ , $1' \rightarrow 2'$ e al secondo passo $1 \rightarrow 1'$ e $2 \rightarrow 2'$

$$\begin{array}{l} \int {d\vec v\frac{{\partial f}}{{\partial ... ...+ \chi _2 - \chi _1 '\chi _2 '} \right)} \nonumber \end{array}$$

Ma poichè $\chi$ è una quantità che si conserva allora l'integrale vale zero. CVD.

I teoremi di conservazione importanti per l'equazione di trasporto di Boltzmann si ottengono moltiplicando 1.10 da entrambi i membri per $\chi$ e poi integrando su tutte le velocità $\vec v$ . Il termine di collisione a destra scompare in virtù del teorema 2.6 appena visto. Con questa procedura perdo informazioni utili sulle velocità.

$$\int_{\vec v}{\chi \left( \frac{\partial f}{\partial t}+ \vec v \cdot \vec \nabla_r f + \frac{\vec F}{m}\cdot \vec \nabla_v f \right)}=0$$ (2.7)

Le quantità che si conservano da scegliere per $\chi$ sono la massa, la quantità di moto e l'energia cinetica, in particolare alla fine di questa trattazione otterrò che:

$\chi = m$

Conservazione della massa, da cui otterò l'equazione di continuità.

$\chi = mv_i$

Conservazione della corrente

$\chi = m/2 (\vec v - \vec u(\vec r,t))^2$

Conservazione dell'energia (con $\vec u (\vec r,t)$ campo di velocità, da cui otterrò un'equazione per la temperatura.

L'equazione 2.7 può essere riscritta in una forma più comoda che esprime le leggi di conservazione esplicitando i termini singoli e notando in effetti che:

$$\left <A \right> = \frac{\int{d\vec v fA}}{\int{d\vec v f}}=\frac{1}{n}\int{d\vec v A f}$$

quindi vale il seguente teorema di conservazione

$$\frac{\partial }{\partial t} <n \chi> + \vec \nabla_r \cdot \lef... ... \cdot \nabla_v \chi \right> -\frac{n}{m}\left< \vec \nabla_v \vec F \right> =0$$ (2.8)

Le leggi di conservazione si possono ricavare facilmente ponendo per $\chi$ le varie quantità descritte sopra. Ponendo $\chi = m$ si ottiene immediatamente:

$$\frac{\partial }{\partial t}(mn)+ \vec \nabla_r \left< mn\vec v \right>$$ (2.9)

che introducendo la densità di massa $\rho (\vec r,t)=mn(\vec r,t)$ fornisce la ben nota

EQUAZIONE DI CONTINUITA'

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \vec \nabla \cdot (\rho \vec u)=0$$ (2.10)

Notare che 2.10 non consente di conoscere la dipendenza spaziale e temporale di $\rho$ e $\vec u$ che devono essere ricavati a partire dall'equazione di Boltzmann.

Adesso poniamo $\chi = mv_i$ nell'equazione 2.8 ed otteniamo

$$\frac{\partial }{\partial t}<\rho v_i> + \frac{\partial }{\partial r_j}<\rho v_i v_j> - \frac{1}{m}\rho F_i=0$$ (2.11)

ma poichè

$$<v_i v_j>= <(v_i-u_i)(v_j-u_j)> + <v_i>u_j + u_i <v_j>-u_iu_j$$ (2.12)

$$= <(v_i-u_i)(v_j-u_j)>+u_iu_j$$

sostituendo in 2.11, otteniamo:

$$\rho \left( \frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j \frac{\partial u_... ...tial }{\partial r_j}\underbrace{\left< \rho(v_i-u_i)(v_j-u_j) \right>}_{P_{ij}}$$ (2.13)

dove $P_{ij}$ è il tensore pressione (simmetrico) e definisce le forze interne che agiscono localmente nel fluido. Otteniamo così un equazione per la corrente:

EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO

$$\rho \left( \frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j \frac{\partial u_... ...artial u_j} \right) = \frac{\rho F_i}{m} - \frac{\partial }{\partial r_j}P_{ij}$$ (2.14)

Ponendo $\chi = m/2(\vec v - \vec u)^2$ si ottiene

$$\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}<\rho (\vec v- u)^2 > +\fra... ...ac{1}{2}\rho \left< v_i \frac{\partial}{\partial r_i}(\vec v -\vec u)^2 \right>$$ (2.15)

Si definisce la temperatura come:

$$k_B T \equiv \theta \equiv \frac{1}{3}m <(\vec v - \vec u)^2>$$ (2.16)

Essa coincide con la definizione che abbiamo dato per la temperatura all'equilibrio. Il vettore flusso di calore $\vec q$ è definito come:

$$\vec q \equiv \frac{1}{2}m\rho <(\vec v -\vec u)(\vec v - \vec u)^2>$$ (2.17)

Esso esprime il trasporto dell'energia termica localmente. Abbiamo che

$$\frac{1}{2} \rho <v_i \vert\vec v - \vec u\vert^2>= \frac{1}{2}m \rho \left\langle (v_i-u_i)\vert\vert\vec v - \vec u\vert^2 \right\rangle + \frac{1}{2}\rho u_i <v_i \vert\vec v - \vec u\vert^2>$$ (2.18)

$$= q_i + \frac{3}{2}\rho \theta u_i$$

Ma poichè il tensore pressione è simmetrico, $P_{ij}=P_{ji}$ :

$$mP_{ij} \frac{\partial u_j}{\partial r_i}= P_{ij}\frac{m}{2}\left... ...rtial r_i}+\frac{\partial u_i}{\partial r_j} \right) \equiv P_{ij} \Lambda_{ij}$$

dove $\Lambda_{ij}$ è

$$m\left( \frac{\partial u_i}{\partial r_j}+\frac{\partial u_j}{\partial r_i} \right)$$

La forma finale si ottiene con altri passaggi e fornisce:

EQUAZIONE DELLA TEMPERATURA

$$\rho \left( \frac{\partial }{\partial t} + u_i \frac{\partial}{\p... ... + \frac{2}{3}\frac{\partial}{\partial r_i}q_i = -\frac{2}{3}\Lambda_{ij}P_{ij}$$ (2.19)

In definitiva, le tre equazioni di conservazione risultano:

EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

Conservazione della massa

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \vec \nabla \cdot (\rho \vec u)=0$$

Conservazione del momento

$$\rho \left( \frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j \frac{\partial u_... ...artial u_j} \right) = \frac{\rho F_i}{m} - \frac{\partial }{\partial r_j}P_{ij}$$

Conservazione dell'energia

$$\rho \left( \frac{\partial }{\partial t} + u_i \frac{\partial}{\p... ... + \frac{2}{3}\frac{\partial}{\partial r_i}q_i = -\frac{2}{3}\Lambda_{ij}P_{ij}$$

dove tutte le quantità ausiliarie sono state definite precentemente.

Nonostante questi teoremi di conservazione siano esatti non esiste modo di risolverli senza far uso dell'equazione di trasporto di Boltzmann per la valutazione delle quantità ausiliarie: tensore pressione $P_{ij}$ , $\Lambda_{ij}$ , flusso di calore $\vec q$ , velocità media $\vec u$ , temperatura $\theta$ .