Approssimazione di ordine zero

L'approssimazione di ordine zero esprime il punto di partenza dell'approssimazione per tempi e spazi piccoli dove si suppone valgano le condizioni di equilibrio con densità $n(\vec r,t)$ , temperatura $\theta(\vec r,t)$ e velocità media $\vec u (\vec r,t)$ lentamente variabili nel tempo. Queste quantità sono tutte implicate nella funzione di distribuzione che si suppone quella d'equilibrio:

$$f_0(\vec r, \vec v, t)=\frac{n(\vec r,t)}{(2\pi m \theta)^{3/2}}\exp\left[ -\frac{m}{2\theta}(\vec v - \vec u)^2 \right]$$ (2.20)

In questo modo, approssimando la soluzione esatta dell'equazione di Boltzmann con una soluzione d'equilibrio sono passato da 13 incognite a solo 5. In assenza di forze esterne e all'equilibrio il termine collisionale è nullo, però inserendo la soluzione d'equilibrio in 2.20 ovviamente questa non sarà nulla, in generale:

$$\left( \frac{\partial }{\partial t}+\vec v \cdot \vec \nabla_r + \frac{\vec F}{m}\cdot \vec \nabla_v \right)f_0(\vec r, \vec v, t) \neq 0$$ (2.21)

ma per il momento assumiamo che questa sia una buona approssimazione e poniamo 2.21 uguale a zero. Questo sta a significare che $n,\theta,\vec u$ sono tali per cui i teoremi di conservazione sono approssimativamente soddisfatti, essi diventano quindi delle equazioni ristrette alla descrizione del comportamento di $n,\theta,\vec u$ . Questo fatto si può notare calcolando il vettore flusso di calore $\vec q$ e il tensore pressione all'ordine più basso, risultati che denoteremo con $\vec q_{(0)}$ e $P_{ij}^{(0)}$ rispettivamente. Si ottiene:

$$\vec q = \frac{1}{2}m\rho \frac{\int{(\vec v -\vec u)(\vec v - \vec u)^2f \,d\vec v}}{\int{f \, d\vec v}}$$ (2.22)

$$= \frac{1}{2}m \rho \frac{\int{\vec U \, U^2 \exp[-\frac{m}{2\theta} U^2] \, d\vec U}}{\int{f \, d\vec v}}=0$$ (2.23)

Con il cambio di variabile $\vec U = \vec v -\vec u$ , $d\vec U = \, d\vec v$ si nota che l'integrale vale zero perchè l'integrando è dispari. Il flusso di calore all'equilibrio è nullo, non avvengono scambi termici.

Il tensore pressione invece in approssimazione di ordine zero si diagonalizza:

$$P_{ij}^{(0)}=\rho \frac{\int{d\vec v (v_i-v_j)(v_j-u_i)f}}{\int{f \, d\vec v}}= \rho n \left( \frac{m}{2\pi \theta} \right)^{3/2} \frac{\int{U_i U_j \exp \left[ -\frac{mU^2}{2\theta} \right]}\, d\vec U}{\int{f \, d\vec v}}$$ (2.24)

$$= \delta_{ij}\rho n \left( \frac{m}{2\pi \theta} \right)^{3/2} \fra... ...{U_i^2 \exp\left[ -\frac{mU^2}{2\theta} \right]}\, d\vec U}{\int{f \, d\vec v}}$$

poichè non esiste una dipendenza particolare negli integrali dalle direzioni, allora posso dividere per $1/3$ ed ottenere una quantità legata in modo diretto alla temperatura, in particolare,

$$\frac{m}{3} \frac{\int{(\vec v -\vec u)^2 exp\left[ -\frac{mU^2}{2\theta} \right]}\, d\vec v}{\int{f \, d\vec v}}$$ (2.25)

risulta proprio il valor medio di $\theta$ . Quindi in approssimazione di ordine zero si può definire il tensore pressione nella maniera che segue:

$$P_{ij}=\delta_{ij}n \theta=\delta_{ij}P$$ (2.26)

ossia la nota legge $P=n\theta=k_BT/V$ . All'equilibrio la pressione idrostatica locale è la pressione globale.

Continuando con l'approssimazione di ordine zero si nota che l'equazione di continuità resta invariata con le nuove quantità ma quella per la pressione si semplifica diventando l'equazione di Eulero:

$$\rho \left( \frac{\partial}{\partial t}+\vec u \cdot \vec \nabla \right) \vec u + \vec \nabla P = \rho \frac{\vec F}{m} \\$$ (2.27)

Stesso succede all'equazione della conservazione dell'energia:

$$\rho \left( \frac{\partial}{\partial t}+\vec u \cdot \vec \nabla \right) \theta + \frac{2}{3}\theta \vec \nabla \cdot \vec u = 0$$ (2.28)

Queste sono le equazioni idrodinamiche per i fluidi non viscosi. Le loro soluzioni rappresentano flussi che persistono indefinitamente nel tempo, quindi nell'approssimazione di equilibrio locale la distribuzione non evolve mai verso la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Queste tre equazioni risultano invarianti per time reversal, questo è in disaccordo con l'irreversibilità dei processi fisici. Esse non risultano adeguate alla descrizione di problemi dissipativi e con modificazioni di entropia. Questo problema verrà risolto nella prossima sezione con l'approssimazione del primo ordine.