Legame con la termodinamica

La quantità

$$\left( \frac{\partial}{\partial t}+\vec u \cdot \vec \nabla \right) X$$

presente in 2.27 e 2.28 è nota come derivata materiale di $X$ poichè esprime il tasso di variazione temporale di $X$ per un osservatore in moto con velocità media $\vec u$ . Tale osservatore si muove lungo le cosiddette linee di flusso. Si nota che in approssimazione di ordine zero, un gas diluito è soggetto solo a trasformazioni adiabatiche per un osservatore in moto lungo una linea di flusso, infatti si può scrivere, moltiplicando per $-3/2 \rho$ e dividendo per $\theta$ :

$$\left( \frac{\partial}{\partial t}+\vec u \cdot \vec \nabla \right)\rho =-\rho \vec \nabla \cdot \vec u$$ (2.29)

$$-\frac{3}{2} \frac{\rho}{\theta} \left( \frac{\partial}{\partial t}+\vec u \cdot \vec \nabla \right)\theta = \rho \vec \nabla \cdot \vec u$$

Sommando queste due equazioni si ottiene:

$$\left( \frac{\partial}{\partial t}+\vec u \cdot \vec \nabla \righ... ...a} \left( \frac{\partial}{\partial t}+\vec u \cdot \vec \nabla \right)\theta$$

oppure,

$$\left( \frac{\partial}{\partial t}+\vec u \cdot \vec \nabla \right)(\rho\theta^{-3/2})=0$$ (2.30)

Questo significa che la quantità $(\rho\theta^{-3/2})$ non varia nel tempo lungo la linea di flusso. Questa è la condizione per una trasformazione adiabatica in un gas ideale, ossia $(\rho\theta^{-3/2})=\textrm{costante}$ , dove $5/3$ è il rapporto fra calori specifici a pressione e volume costante, $c_P/c_V=5/3$ .

Questo importante fatto esprime inoltre la conservazione dell'entropia:

$$S=-\log{\left[ n(2\pi m k_B\theta)^{-3/2} \right]}$$

infatti $S \propto \theta^{-3/2}$ . Localmente avvengono trasformazioni adiabatiche che conservano l'entropia e sono reversibili. Questo riflette il fatto che non c'è scambio di calore e quindi il flusso di calore $\vec q$ è nullo.