Propagazione del suono

Ora deriveremo l'equazione lineare per un'onda sonora. Restringiamoci al caso in cui $\vec u$ e tutte le derivate spaziale e temporali di $\vec u,\rho,\theta$ sono quantità piccole al primo ordine, ossia producono variazioni piccole rispetto alle quantità all'equilibrio. Questo tipo di soluzione è detto regime lineare.

$$\rho(\vec r,t) \approx \rho_0$$

$$\theta (\vec r,t)\approx \theta_0$$

Se non agiscono forze esterne sul sistema $\vec F=0$ , nell'equazione di continuità 2.10 e nell'equazione di Eulero 2.27 i termini contenenti gradienti e derivate temporali di $\vec u,\theta, \rho$ scompaiono assieme a quelli contenenti le forze:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \rho \vec \nabla \cdot \vec u =0$$ (2.31)

$$\rho \frac{\partial \vec u}{\partial t}+ \vec \nabla P =0$$ (2.32)

$$\frac{3}{2} \rho \frac{\partial \theta}{\partial t}-\theta \rho \frac{\partial \rho}{\partial t} =0$$ (2.33)

Prendendo la divergenza della seconda equazione e la derivata temporale della prima e sottraendo i risultati si ottiene un'equazione simile nella forma alla celebre equazione delle onde:

$$\nabla^2P-\frac{\partial^2\rho}{\partial t^2}=0$$ (2.34)

Ora, poichè $P$ è funzione di $\rho$ e $\theta$ e queste quantità sono legate fra esse attraverso le trasformazioni adiabatiche, possiamo contare $P$ come funzione di $\rho$ attraverso la relazione $P=\frac{\rho\theta}{m}$ allora:

$$\nabla^2 P = \nabla \cdot \left[ \left( \frac{\partial P}{\partia... ...o \right]\approx \left( \frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_S \nabla^2 \rho$$ (2.35)

dove $(\partial P / \partial \rho)_S$ è la derivata ad entropia costante, legata alla compressibilità adiabatica $K_S$ da:

$$K_S=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial \rho}{\partial P} \right)_S= \frac{3}{5}\frac{m}{\rho \theta}$$ (2.36)

In questo modo 2.34 può essere scritta nella forma canonica dell'equazione delle onde per $\rho$ :

$$\nabla^2 \rho - \rho K_S \frac{\partial ^2 \rho}{\partial t^2}=0$$ (2.37)

con soluzione del tipo onda piana $\rho=\rho_0+e^{(i\vec q \cdot \vec r -\omega t)}$ . Per la legge di dispersione $\omega^2=c^2 q^2$ , la velocità di propagazione dell'onda di densità è:

$$c=\frac{1}{\sqrt{\rho K_S}}=\sqrt{\frac{5}{3}\frac{\theta}{m}}=\sqrt{\frac{5}{6}}\bar v$$

E' interessante notare che in questa trattazione entri la compressibilità adiabatica perchè in questa approssimazione non c'è conduzione di calore all'interno del gas^2.2