Approssimazione del primo ordine

Possiamo ora dare una stima dell'errore introdotto dall'approssimazione di ordine zero. Supponiamo di conoscere esattamente $f(\vec r,\vec v,t)$ e sia:

$$g(\vec r,\vec v,t)=f(\vec r,\vec v,t)-f_0(\vec r, \vec v,t)$$

una funzione che esprime quanto il sistema sia lontano dall'equilibrio locale. Le proprietà fondamentali che esprime questa funzione sono:

$$\int{g \, d\vec v}=0 \quad \int{g \vec v \, d\vec u}=0 \quad \int{g(\vec v- \vec u)^2 \, d\vec v}=0$$ (2.38)

Ora riscriviamo l'equazione di Boltzmann per la $g=f-f_0$ ,

$$\frac{\partial f}{\partial t}+ \vec v \cdot \vec \nabla_r f + \fr... ...c F}{m}\cdot \vec \nabla_v f=\left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll}$$

Siamo interessati alla grandezza di $g$ comparata a $f_0$ . Per primo stimiamo l'ordine di grandezza del termine collisionale. Per definizione:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll} = \int{\sigma(... ...ert\vec v_2-\vec v_1\vert(f_1^\prime f_2^\prime-f_1f_2)\, d\vec v_2 \, d\Omega}$$ (2.39)

$$=\int{\sigma(\Omega)\vert\vec v_2-\vec v_1\vert {\left( g_1^\prim... ...)1}^\prime g_2^\prime -g_1 f_{(0)2}-f_{(0)1}g_2 \right)} d\vec v_2 \, d\Omega}$$

che rappresenta un'equazione integrale per $g$ dove con ovvia notazione $f_{(0)2}$ rappresenta $f_0(v_2)$ etc. Dei quattro termini segnati ne manteniamo solo uno supponendo che gli altri siano trascurabili, quindi:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll} \approx -g(\ve... ...sigma(\Omega)\vert\vec v_2-\vec v_1\vert f_0(\vec v_2) \, d\vec v_2 \, d\Omega}$$ (2.40)

poichè $f_0(\vec v_2)$ è una funzione nota allora l'integrale si può esprimere come un $\tilde \tau (\vec r, \vec n, \vec u, \theta)$ che ha le dimensioni del tempo e l'ordine di grandezza tipico del tempo di collisione:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll} \approx \frac{... ...\frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll} \approx -\frac{f-f_0}{\tilde \tau}$$ (2.41)

otteniamo un risultato qualitativamente corretto.

Esiste una relazione fra il $\tau$ tempo medio fra due collisioni e questo nuovo $\tilde \tau$ definito dalla 2.41, in particolare:

$$\frac{1}{\tau} = \frac{2Z}{n}= \frac{2}{n}\int{\frac{f(\vec v_1)}{\tau(\vec v_1)}}$$ (2.42)

dove $Z$ è definito da 2.1. Poichè i due tempi caratteristici sono dello stesso ordine di grandezza, allora si può sostituire in 2.41 ed ottenere:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll} = -\frac{g(\vec v)}{\tau}$$

ossia l'equazione di trasporto di Boltzmann in approssimazione di singolo tempo di rilassamento.

$$\frac{\partial f}{\partial t}+ \vec v \cdot \vec \nabla_r f + \fr... ...{\partial f}{\partial t} \right)_{coll}\approx -\frac{g(\vec r,\vec v,t)}{\tau}$$ (2.43)

Ora sorge spontanea la domanda: ''Quanto l'approssimazione al primo ordine è un'approssimazione perturbativa?'' Riscriviamo l'equazione di Boltzmann in maniera da evidenziare $g$ , omettendo le forze esterne,

$$g(\vec r, \vec v,t) =-\tau \left( \frac{\partial f_0}{\partial t}+\vec v \cdot \vec \nabla f_0 +\frac{\vec F}{m} \cdot \vec \nabla_v f_0\right)$$

Da questa equazione si evidenzia il fatto che se fosse $\tau = 0$ ossia le collisioni fossero istantanee ed in gran numero, allora la funzione $g$ che misura quanto il sistema si discosta dall'equilibrio locale, tenderebbe a zero, ossia il sistema ripristinerebbe rapidamente l'equilibrio.

$$\lim_{\tau \rightarrow 0} g(\vec r, \vec v,t) =0 \quad \Rightarrow \quad f=f_0$$

In breve, le deviazioni di $f$ da $f_0$ sono tanto minori quanto più $\tau \rightarrow 0$ . Se supponiamo che il sistema oscilli su una scala dei tempi dell'ordine di $T$ e delle grandezze nell'ordine di $L$ , allora si può dedurre che

$$\frac{g}{f_0} \approx -\tau \left( \frac{1}{T} +\frac{v}{L} \right)$$ (2.44)

L'ipotesi per applicare l'approssimazione ad ordine più basso, ossia $g/f_0 \approx 0$ conduce alle condizioni per l'equilibrio locale dette condizioni di regime collisionale.

$$\tau \ll T \quad \Rightarrow \quad \lambda = \tau \bar v \ll L$$

In un tempo $T$ devono avvenire moltissime collisioni che riportano lo stato all'equilibrio termodinamico. Se queste condizioni non sono soddisfatte, il sistema giunge ad un regime senza collisioni.

Questo succede ad esempio con le onde sonore a frequenze troppo elevate da diminuire eccessivamente $T$ , le condizioni non sono soddisfatte ed il suono non si propaga dando luogo ad un regime senza collisioni.

Risulta tuttavia da comprendere quanto le equazioni idrodinamiche vengano modificate dall'approssimazione al primo ordine, per il seguente scopo si può inserire la $f$ perturbata al primo ordine $f=f_0+g$ e calcolare le nuove quantità già definite all'ordine zero (tensore pressione, vettore flusso di calore). Si noterà che il tensore pressione non sarà più diagonale ed il vettore flusso di calore dipenderà in maniera cruciale da $\tau$ . In questo modo si terrà conto di effetti dissipativi.

Vogliamo ora esprimere l'approssimazione di singolo tempo di rilassamento con derivate rispetto alla densità:

$$\frac{\partial f_0}{\partial t}=\frac{\partial f_0 }{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial f_0}{\partial \th... ...artial t}+ \frac{\partial f}{\partial \vec u}\frac{\partial \vec u}{\partial t}$$ (2.45)

$$\vec \nabla_r f_0 = \frac{\partial f_0}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial \vec r}$$

Le $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ , $\frac{\partial \theta}{\partial t}$ , $\frac{\partial \vec u}{\partial t}$ sono fissate dalle leggi di conservazione, mentre le derivate parziali di $f_0$ rispetto a $\rho, \theta,\vec u$ si possono calcolare esplicitamente, ad esempio poichè $f_0$ è lineare in $\rho$ , allora

$$\frac{\partial f_0}{\partial \rho} =\frac{f_0}{\rho}$$ (2.46)

$$\frac{\partial f_0}{\partial \theta} =\frac{1}{\theta}\left[ \frac{m}{2 \theta (\vec v- \vec u)^2-\frac{3}{2}}\right]f_0$$

$$\frac{\partial f_0}{\partial u_i} =\frac{m}{\theta}(v_i-u_i)f_0$$

Introdotto $\vec U(\vec r,t) =\vec v- \vec u(\vec r,t)$ possiamo riesprimere $g$ attraverso queste variabili:

$$g=-\tau \left[ \frac{1}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial x... ...\theta} \Lambda_{ij} \left(U_iU_j-\frac{1}{3}\delta_{ij U^2} \right) \right]f_0$$ (2.47)

Guardando 2.46 si nota che $g$ dipende dalle velocità in maniera più complessa rispetto a $f$ contenendo termini lineari, quadratici e cubici delle velocità. Dalle proprietà 2.38 abbiamo ricavato:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \vec \nabla (\vec v \rho) =0$$ (2.48)

$$\rho \left(\frac{\partial }{\partial t} + u_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right)u_i+\frac{\partial}{\partial x_j}P_{ij} =\rho \frac{F_i}{m}$$

$$\rho \left(\frac{\partial }{\partial t} + u_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right)\theta + \frac{2}{3}\frac{\partial q_i}{\partial x_i} =-\frac{2}{3}P_{ij}\Lambda_{ij} \nonumber$$

Queste tre equazioni devono essere soddisfatte da $f$ se vale l'equazione di Boltzmann. E' necessario ora calcolare il vettore flusso di calore ed il tensore pressione ponendo $f=f_0+g$ per ottenere le equazioni dell'idrodinamica al primo ordine. Si trova che $q_i \neq 0$ e $P_{ij} \neq P \delta_{ij}$ , in particolare:

$$q_i = \frac{1}{2}m \rho \left< \vec u u^2 \right> = \frac{1}{2}m ... ...u}}=\frac{1}{2}m \rho \frac{\int{g\vec u u^2 \, d\vec u}}{\int{f \, d\vec u}}$$

perchè $f_0$ non dà contributo, quindi:

$$\vec q=-K\vec \nabla \theta$$

dove $K=\frac{5}{2}\tau n \theta$ è detto coefficiente di conducibilità termica. E' chiaro che $\vert\vec q\vert$ è una quantità piccola del primo ordine, essendo dell'ordine di $\lambda/L$ . Questa espressione permette di rendere le equazioni chiuse e trovare così tutti i parametri.

Per il tensore pressione $P_{ij}$ solo il secondo termine di 2.47 contribuisce:

$$P_{ij}=\rho \left< u_i u_j \right>=\rho \frac{\int{u_i u_j f \, d\vec u}}{\int{f \, d\vec u}}=P\delta_{ij} + P^\prime_{ij}$$

Il contributo al tensore pressione dovuto a $f_0$ è rappresentato dal termine diagonale $P\delta_{ij}$ , quello di $g$ produce un termine non diagonale, simmetrico, di traccia nulla $P^\prime_{ij}$ che dipende linearmente dal tensore $\Lambda_{ij}$ :

$$P^\prime_{ij}=-\frac{2 \mu}{m}\left(\Lambda_{ij}-\frac{m}{3}\vec \nabla \cdot \vec u \, \delta_{ij} \right)$$ (2.49)

in particolare $m \vec \nabla \cdot \vec u$ non è nient'altro che la traccia di $\Lambda_{ij}$ e $\mu$ una costante:

$$\sum_{i=1}^3{\Lambda_{ii}}=m \sum_{i=1}^3{\frac{\partial u_i}{\partial r_i}}=m \vec \nabla \cdot \vec u$$

Resta da calcolare il coefficiente di viscosità $\mu$ . A questo scopo è sufficiente calcolare una componente di $P^\prime_{ij}$ ad esempio $P^\prime_{12}$ :

$$P^\prime_{12}=-\frac{\tau m^4}{\theta}\Lambda_{kl} \int{UU_1U_2(U_kU_l-\frac{1}{3}\delta_{kl}U^2)f_0\, d\vec U}$$

quindi

$$\mu=\frac{\tau m^5}{\theta}\int{UU_1^2U_2^2f_0d\vec U}=\tau n \theta$$

Ora inseriamo i risultati espliciti per $\vec q$ , $P_{ij}$ e $\mu$ nelle tre equazioni idrodinamiche al primo ordine ed otteniamo il set d'equazioni chiuse di continuità, Navier-Stokes e della conduzione del calore.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \vec \nabla (\vec v \rho) =0 \textrm{\textit{Equazione di continuità}}$$ (2.50)

$$\vspace{3mm} \left(\frac{\partial }{\partial t}+u_j\frac{\partial}{\partial x_j} \right)\vec u =\frac{\vec F}{m}-\frac{1}{\rho} \vec \nabla \left(P-\frac{\mu}{3}\vec \nabla \cdot \vec u \right)+ \frac{\vec u}{\rho}\nabla^2\vec u \textrm{\textit{Navier-Stokes}}$$ (2.51)

$$\left(\frac{\partial }{\partial t}+u_j\frac{\partial}{\partial x_j} \right)\theta = -\frac{2}{3}(\vec \nabla \cdot \vec u)\theta + \theta \frac{2}{3}\frac{K}{\rho}\nabla^2\theta \textrm{\textit{Equazione del calore}}$$ (2.52)