Propagazione ed attenuazione delle onde sonore

Scegliamo $K=0$ per semplicità e manteniamo solo i termini di viscosità, questo è sufficiente per predire il fenomeno di attenuazione. La prima e la terza equazione sono uguali a quelle in approssimazione idrodinamica. Assumiamo

$$\rho=\rho_0+\delta \rho e^{-i\omega t +i q z}$$

con $\omega$ reale e $q$ complesso che tiene conto della viscosità, in particolare $\textrm{Re}(q)$ è legata alla lunghezza d'onda mentre $\textrm{Im}(q)$ ci dà informazioni sulla distanza per cui l'onda si attenua, avremo:

$$u=u_z e^{-i\omega t+iqz} P=P_0+\delta P e^{-i\omega t +iqz}$$ (2.53)

Per l'equazione di continuità si ha che:

$$-i\omega \delta \rho + i q u_z \rho_0=0$$

per l'equazione di Navier-Stokes, trascurando i termini di ordine maggiore del primo:

$$-i\omega u_z+1/\rho i q \delta P + \frac{4}{3}q^2 \frac{\mu}{\rho_0}u_z=0$$

in questo caso $\nabla \nabla u=\nabla^2u_j$ , troviamo dalla terza equazione (del calore):

$$\frac{\delta P_0}{P_0}=\frac{5}{3}\frac{\delta \rho_0}{\rho_0}$$

quindi

$$-i\omega u_z +\frac{1}{\rho}\frac{5}{3}\delta \rho \frac{\theta}{m}+\frac{4}{3}q^2 \frac{\mu}{\rho_0}u_z=0$$

Poichè $u_z=\frac{\omega}{q}\frac{\delta \rho}{\rho_0}$ , sostituisco in Navier Stokes e moltiplico per $i$ ed ottengo:

$$\delta \rho \left[\frac{\omega^2}{\rho_0}-q^2\frac{5}{3}\frac{\theta}{m}+\frac{4}{3}imq^2\frac{\mu}{\rho_0} \right]=0$$

Se scrivo separando parte reale e parte immaginaria $q=q_k+\frac{i}{D}$ dove $D$ è la distanza alla quale il segnale decade e trascuro i termini in $1/D^2$ allora:

$$\frac{\omega^2}{\rho_0}-q_k^2 \frac{5}{3}\frac{\theta}{m}-2i\frac{q_k}{D}\frac{5}{3}\frac{\theta}{m}+ \frac{4}{3}imq_k^2\frac{\mu}{\rho_0}=0$$

da cui si trova

$$c_s^2=\frac{5 \theta}{3m} \qquad q_kD=\frac{5}{2}\frac{1}{\omega \tau}$$

In regime idrodinamico $\omega \tau \ll 1$ quindi $q_kD \gg 1$ ossia $D \gg \lambda$ . Calcolo

$$D=\frac{5}{2}\frac{1}{q_k^2\frac{\omega}{q_r}\tau}=\frac{5}{2}\fr... ...c{1}{q_r^2\lambda}=\frac{1}{(2\pi)^2}\frac{\lambda_\textrm{{suono}}^2}{\lambda}$$

ma poichè il libero cammino medio $\lambda \approx 10^{-4}$ cm e $\lambda_\textrm{suono} \approx 10$ cm risulta che la distanza per cui il segnale decade è dell'ordine di $D \approx 300$ cm.