Introduzione

L'obiettivo della meccanica statistica classica è derivare tutte le proprietà di equilibrio di un sistema macroscopico a partire dalle leggi microscopiche di dinamica molecolare, tuttavia la meccanica statistica non descrive come un sistema si evolve verso l'equilibrio nè determina se questo potrà mai essere raggiunto, essa afferma solamente com'è fatto lo stato d'equilibrio per un sistema. Ci ricordiamo dai capitoli precedenti che nei gas ad esempio l'evoluzione verso l'equilibrio è difficilmente descrivibile ma la situazione d'equilibrio è ben spiegata dalla legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Il metodo della distribuzione più probabile usato nel ricavare la distribuzione di Maxwell-Boltzmann potrà essere utilizzato anche per sistemi non gassosi, questa generalizzazione è proprio la meccanica statistica classica.

Per conoscere lo stato del sistema esistono due approcci concettualmente diversi:

Stato microscopico

Ad ogni particella del sistema si assegna una coppia di coordinate coniugate, posizione e momento

$$\{q_i,p_i\}$$

che descrive istante per istante la traiettoria della $i$ -esima particella.

Stato macroscopico

Al sistema globale vengono date delle caratteristiche macroscopiche come l'energia totale, il numero di particelle, il volume.

Ovviamente un numero infinito di stati risponde alle stesse condizioni macroscopiche perchè le variabili coniugate posizione e momento variano con continuità, tuttavia questo numero non è infinito perchè in realtà nel limite quantistico le due variabili devono soddisfare

$$\Delta p_x \Delta x \approx h$$

dove $h$ è una costante delle dimensioni dell'azione e rappresenta la dimensione minima della celletta nello spazio delle fasi.

Uno dei postulati su cui si basa le meccanica statistica è il seguente:

Teorema 3.1.1 (Principio di equiprobabilità)  

Per un sistema in equilibrio termico ogni stato ha lo stesso peso.

Per un sistema con energia $E$ tale che

$$E<H(q,p)<E+\Delta$$

dove $\Delta$ rappresenta una variazione infinitesima rispetto all'energia $E$ del sistema, il principio di equiprobabilità si traduce in termini di funzione densità $\rho(q_i,p_i)$ tale che

$$\rho \left( {q_i ,p_i } \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\,{\... ...ight) < E + \Delta \\ 0\,{\qquad \textrm{altrove}} \\ \end{array} \right.$$

Questa scelta per la funzione densità fornisce il cosiddetto insieme microcanonico, un sistema isolato energeticamente.

Supponiamo che $f(q,p)$ sia una quantità misurabile del sistema come l'energia o l'impulso. La media d'insieme si può ritrovare integrando con la funzione densità $\rho$ sull'insieme microcanonico come:

$$<f(q,p)>=\frac{\int{f(q,p)\rho(q,p)\, d^{3N}q \, d^{3N}p}}{\int{\rho(q,p)\, d^{3N}q \, d^{3N}p}}$$

Il valore più probabile, definito come il valore di $f$ posseduto dalla maggior parte degli stati del sistema ed il valor medio sono simili se le fluttuazioni sono piccoli, ossia:

$$\frac{<f^2>-<f>^2}{<f>^2}\ll 1$$

Se questa condizione non è soddisfatta, non esiste una maniera unica di determinare come può essere misurata la variabile $f$ , in questi casi si deve dubitare dell'utilità della meccanica statistica. Tuttavia nei casi di interesse fisico le fluttuazioni sono dell'ordine di $1/N$ e quindi nel limite termodinamico, di fatto, valor medio e valore più probabile sono uguali.

In realtà in natura i sistema non obbediscono alle leggi della meccanica statistica classica bensì alla meccanica statistica quantistica, di cui la teoria classica risulta come un caso particolare.