Gas classico ideale nell'ensemble canonico

Vogliamo calcolare esplicitamente la funzione di partizione canonica di un gas ideale con Hamiltoniana del tipo:

$$H=\sum_i{\frac{p_i^2}{2m}}$$

Il calcolo esplicito fornisce:

$$Q_N(V,T) =\frac{1}{N!h^{3N}}\int{\exp \left[ -\beta H\right]\, d^{3N}q\, d... ... \beta (\frac{p_1^2}{2m}+\ldots+\frac{p_N^2}{2m})}\, d\vec p_1\ldots d\vec p_n}$$

$$=\frac{V^N}{N!h^{3N}}\left( \int{e^{-\beta p^2/2m}d^{3N}p} \right)^N= \frac{V^N}{N!h^{3N}}(2\pi m k_BT)^{\frac{3N}{2}}$$

Se avessimo introdotto un potenziale fra le molecole, non avremmo potuto esplicitare l'integrale sulle coordinate come $V^N$ , nonostante questo, il termine cinetico fornisce sempre la dipendenza dalla temperatura sotto forma di $(2\pi m k_BT)^{3N/2}$ : è in questa maniera che in fisica classica l'energia cinetica dipende dalla temperatura. Esprimiamo l'energia libera approssimando $N! \approx N^N$ :

$$A=-k_BTN\log{\left( \frac{V}{N}\frac{(2\pi m k_BT)^{3/2}}{h^3} \right)}$$

L'energia libera di Hermholtz $A$ è la quantità termodinamica da cui partire per il calcolo di tutte le osservabili fisiche nell'ensemble canonico:

$$P=-\frac{\partial A}{\partial V} = Nk_BT$$

$$E=\frac{\partial }{\partial \beta}(\beta A)=-\frac{\partial}{\partial \beta}\log Q_N=\frac{3N}{2\beta}=\frac{3}{2}Nk_BT$$