Gas classico ideale nell'insieme grancanonico

Nelle sezioni precedenti avevamo calcolato la funzione di partizione canonica per un gas ideale:

$$Q_N(V,T)=\frac{1}{N! h^{3N}}(2\pi m k_B T)^{3N/2} V^N$$

Ora con la definizione di granfunzione di partizione possiamo provare a calcolare

$$\mathcal{Z}=\sum_{N=0}^{+\infty}\frac{z^N}{N!} \frac{(2 \pi m k_B... ...m_{N=0}^{+\infty}\frac{1}{N!} \left[\frac{z(2 \pi m k_BT)^{3/2}V}{h^3}\right]^N$$ (3.55)

notiamo che 3.56 è l'espansione in serie di Taylor dell'esponenziale, quindi:

$$\mathcal{Z}=\exp \left[ \frac{z (2 \pi m k_BT)^{3/2}V} {h^3} \right]$$ (3.56)

La funzione di partizione grancanonica 3.57 è il punto di partenza per il calcolo delle quantità termodinamiche

$$PV= k_BT \log \mathcal{Z}$$ (3.57)

$$\bar N= z \frac{\partial }{\partial z} \log \mathcal{Z}$$

$$U= -\frac{\partial}{\partial \beta}\log \mathcal{Z}$$

$\log \mathcal{Z}$ dipende linearmente dalla fugacità $z$ . Questo implica che $z \frac{\partial}{\partial z}\log \mathcal{Z}=\log \mathcal{Z}$ da cui si ottiene immediatamente l'equazione di stato nell'ensemble grancanonico per un gas classico ideale:

$$PV=\bar N k_BT$$

L'introduzione nell'Hamiltoniana di un potenziale intermolecolare produce una variazione della fugacità che non sarà più lineare e darà luogo a deviazione dalla legge di gas perfetto.

L'energia, poichè

$$T \frac{\partial}{\partial T} \log \mathcal{Z}=\frac{3}{2}\log \mathcal{Z}$$

e vale $\log \mathcal{Z}=\bar N$ diventa

$$E=\frac{3}{2}\bar N k_BT$$

Abbiamo visto quindi come dalla conoscenza della funzione di partizione canonica possa determinare le quantità termodinamiche nell'ensemble grancanonico. Questo lavoro è però di scarsa utilità per il gas ideale. ^3.4