Analisi armonica

Tutta questa trattazione del moto browniano nel dominio del tempo può essere molto semplificata nel dominio della frequenza attraverso la trasformata di Fourier. Definita una quantità fisica $A(t)$ , la sua trasformata di Fourier è:

$$A(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}{A(t)e^{-i\omega t}dt}$$ (4.9)

le cui proprietà sono note. Con la trasformata di Fourier è possibile trasformare equazioni differenziali in equazioni algebriche. L'equazione di Langevin diventa

$$\dot{v}+\gamma v =\Gamma(t)$$

$$\Downarrow$$

$$i\omega v(\omega)+\gamma v(\omega) = \Gamma(\omega)$$

dove $v(\omega)$ , $\Gamma(\omega)$ sono le trasformate di $v(t)$ e $\Gamma(t)$ mentre $i\omega v(\omega)$ è la trasformata di $\dot{v}(t)$ .

Si ottiene la soluzione dell'equazione di Langevin nel dominio $\omega$

$$v(\omega)=\frac{\Gamma(\omega)}{i\omega + \gamma}$$ (4.10)