Processi stazionari

Consideriamo le due variabili $A(t)$ ,$B(t)$ e la loro funzione di correlazione

$$\left< A(t_1) B(t_2) \right>$$

In un processo stazionario questa quantità non può dipendere da $t_1$ e $t_2$ separatamente ma solo dalla loro differenza. Definiamo quindi

$$K_{AB}(t_1-t_2)=\left< A(t_1) B(t_2) \right>=\left< A(t_1-t_2) B(0) \right>$$ (4.11)

e la trasformata di Fourier

$$K_{AB}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-i \omega t}K_{AB}(t)dt}$$ (4.12)

che viene definita densità spettrale della funzione di correlazione $K_{AB}$ .

Teorema 4.2.1 (di Wiener-Khintchine)   Consideriamo la funzione di correlazione nello spazio di Fourier, vale allora la seguente relazione:

$$\left< A(\omega) B(\omega ') \right>=K_{AB}(\omega)\delta(\omega+\omega')$$

Dimostrazione:

$$\left< A(\omega) B(\omega ') \right> =\left< \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}{A(t)e^{-i \omega t}dt}\, \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{B(t')e^{-i\omega' t'}dt'} \right>$$ (4.13)

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-i\omega t}dt}\, \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-i\omega' t'}K_{AB}(t-t')dt'}$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-i(\omega+\omega')t'}d... ...\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{d(t-t')e^{-i \omega (t-t')K_{AB}(t-t')}}$$

$$=K_{AB}(\omega)\delta(\omega+\omega') \qquad \Box$$

Applichiamo la relazione di Wiener-Kintchine all'equazione di Langevin che descrive un processo stazionario:

$$\left< \Gamma(t_1)\Gamma(t_2) \right>=q \delta(t_1-t_2) \rightarrow K_{\Gamma \Gamma}(t)=q \delta (t)$$ (4.14)

$$K_{\Gamma \Gamma}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{i\omega t}q\delta(t) dt}=\frac{q}{2\pi}$$

Nello spazio $t$ il rumore $\Gamma$ è delta correlato mentre nello spazio $\omega$ la densità spettrale di $\Gamma$ è costante. Questo tipo di perturbazione è detta rumore bianco. Calcoliamo le correlazioni di velocità nello spazio $\omega$ a partire da 4.11:

$$\left< v(\omega) v(\omega') \right> = \frac{\left< \Gamma(\omega)... ...a' +\gamma)}=\frac{q}{2\pi}\frac{1}{\omega^2+\gamma^2}\delta(\omega +\omega')$$

$$K_{vv}(\omega)=\frac{q}{2\pi}\frac{1}{\omega^2+\gamma^2}$$

La funzione di correlazione velocità-velocità nello spazio $t$ risulta quindi:

$$\left< v(t) v(0) \right>=K_{vv}(t)=\int{e^{i\omega t} \frac{q}{2\pi}\frac{1}{\omega^2+\gamma^2}d\omega}=\frac{q}{2\gamma}e^{-\gamma \vert t\vert}$$ (4.15)

Questa coindice proprio con il risultato trovato prima per tempi grandi ^4.1. Per valori piccoli del coefficiente di attrito per unità di massa $\gamma$ la funzione di correlazione nello spazio $\omega$ diventa molto piccata mentre nello spazio $t$ si allarga.