Processi stazionari

In un processo stazionario

$$P_n(y_1,t_1;\ldots; y_n,t_n)=P_n(y_1,t_1+t;\ldots;y_n,t_n+t) \qquad \forall n,t$$

La densità di probabilità non dipende dalla variabile tempo e la funzione di correlazione dipende solo da $\vert t_1-t_2\vert$

$$P_1(y_1,t_1)=P_1(y_1)$$

$$\left< y_1(t_1)y_2(t_2)\right>\propto \vert t_1-t_2\vert$$

La probabilità condizionale

$$P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)$$

è la densità di probabilità che $y$ abbia il valore $y_2$ all'istante $t_2$ posto che avesse avuto il valore $y_1$ all'istante $t_1$ con $t_2>t_1$ . La probabilità condizionale è definita dalla relazione

$$P_2(y_1,t_1;y_2,t_2)=P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)P_1(y_1,t_1)$$

Valgono le seguenti relazioni:

1. $$\int{dy_2 P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)}=1$$
   infatti
   $$1=\int{dy_1}\int{dy_2 P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)P_1(y_1,t_1)}=\int{dy_2 P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)}$$

2. $$P_1(y_2,t_2)=\int{dy_1P_1(y_1,t_1)P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)}$$
   fornisce la densità di probabilità $P_1$ all'istante $t_2$ data la densità di probabilità $t_1$ . Si ricava da
   $$P_1(y_2,t_2)=\int{dy_1P_2(y_1,t_1;y_2,t_2)}=\int{dy_1P_1(y_1,t_1)P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)}$$
   La probabilità condizionale $P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)$ è la probabilità di transizione da $y_1$ all'istante $t_1$ a $y_2$ all'istante $t_2$ con $t_1 \leq t_2$ .
3. Più in generale si definisce la probabilità condizionale a $n$ passi come la densità di probabilità che $y$ abbia il valore $y_n$ all'istante $t_n$ posto che abbia avuto i valori $y_1$ a $t_1$ ,$y_2$ a $t_2$ , $y_{n-1}$ a $t_{n-1}$ con $t_1<t_2<\ldots < t_{n-1}<t_n$ :
   $$P_{n-1,1}(y_1,t_1;\ldots ; y_{n-1}t_{n-1}\vert y_n,t_n)$$
   La probabilità condizionale di passo $n$ è definita dalla relazione iterativa
   $$P_n(y_1,t_1;\ldots y_n,t_n)=P_{n-1}(y_1,t_1;\ldots y_{n-1}t_{n-1})P_{n-1,1}(y_1,t_1;\ldots y_{n-1}t_{n-1}\vert y_n,t_n)$$
   $$\int{dy_n P_{n-1,1}(y_1,t_1; \ldots y_{n-1}t_{n-1}\vert y_n,t_n)}=1$$