Processi Markoviani

Il processo ha memoria solo del passato immediatamente precedente e non di quello lontano, ad esempio, il rumore termico $\delta$ correlato è legato ad un processo markoviano perchè non serve conoscere tutte le collisioni che la particella ha subito nel tempo.

In forma più precisa possiamo scrivere

$$P_{n-1,1}(y_1,t_1; \ldots y_{n-1},t_{n-1}\vert y_n,t_n)=P_{11}(y_{n-1},t_{n-1}\vert y_n,t_n)$$

La probabilità condizionale che $y$ abbia il valore $y_n$ a $t_n$ è completamente determinata dal valore $y_{n-1}$ a $t_{n-1}$ e non è influenzata dal valore di $y$ ad istanti precedenti. Vale la seguente relazione ricorsiva

$$P_n(y_1,t_1; \ldots y_n,t_n) =P_{n-1}(y_1,t_1;\ldots y_{n-1}t_{n-1})P_{11}(y_{n-1},t_{n-1}\vert y_n,t_n)$$

$$=P_1(y_1,t_1)P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)\ldots P_{11}(y_{n-1},t_{n-1}\vert y_n,t_n)$$

L'informazione completa sul processo stocastico è contenuta in $P_1(y_1,t_1)$ e $P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)$ .

L'equazione di Chapman-Kolmogorov afferma che la probabilità di transizione $y_1,t_1 \rightarrow y_3,t_3$ è il prodotto della probabilità di transizione $y_1,t_1 \rightarrow y_2,t_2$ per $y_2,t_2 \rightarrow y_3,t_3$ integrato su tutti i possibili valori di $y_2$ :

$$P_3(y_1,t_1;y_2,t_2;y_3,t_3)=P_1(y_1,t_1)P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)P_{11}(y_2,t_2;y_3,t_3)$$ (4.16)

$$P_2(y_1,t_1;y_3,t_3)=P_1(y_1,t_1)\int{P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)P_{11}(y_2,t_2;y_3,t_3) dy_2}$$

$$P_{11}(y_1,t_1\vert y_3,t_3)=\int{P_{11}(y_1,t_1\vert y_2,t_2)P_{11}(y_2,t_2\vert y_3,t_3)dy_2}$$