Esempi applicativi: la clessidra

La clessidra è un esempio di applicazione della master equation a processi discreti non stazionari, infatti attraverso l'apertura supponiamo che possa passare un solo granello alla volta con una probabilità $\lambda$ che questo avvenga. I valori possibili della variabile stocastica $y_n$ corrispondono al numero di granelli nel recipiente inferiore. La condizione iniziale fissa che la clessidra non abbia granelli nel recipiente inferiore per $t=0$ .

$$P_1(n=0,t=0)=1$$

$$P_1(n\neq 0,t=0)=0$$

La master equation si scrive subito

$$W_t(n-1\vert n)=\lambda \qquad n\geq 1$$

$$W_t(n\vert m)=0 \qquad \textrm{altrimenti}$$

perciò dobbiamo risolvere il sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{P}_1 \left( {n,t} \right) = P_1 \l... ...t( {0,t} \right) = - P_1 \left( {0,t} \right)\lambda \\ \end{array} \right.$$

Dalla seconda equazione si ha immediatamente:

$$P_1(0,t)=A e^{-\lambda t}$$

mentre la prima fornisce:

$${P}_1(n,t)=\lambda \int_0^t{P_1(n-1,t')e^{\lambda(t'-t)}dt'} \quad n\geq 1$$

infatti

$$\dot{P}_1(n,t)=\lambda P_1(n-1,t)-\lambda \left( \lambda \int_0^t {P_1(n-1,t')e^{\lambda (t'-t)}dt'}\right)$$

Risolvendo ricorsivamente si ottiene:

$$P_1(1,t)=Ae^{-\lambda t}; \quad P_1(2,t)=Ae^{-\lambda t}\frac{\lambda^2t^2}{2} \quad P_1(3,t)=Ae^{-\lambda t}\frac{\lambda^3 t^3}{3!}$$

che è lo sviluppo in serie dell'esponenziale. In generale possiamo scrivere:

$$P_1(n,t)=Ae^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}$$

Resta da determinare la costante $A$ , essa vale $1$ , infatti dalla normalizzazione

$$\sum_{n\geq 0}{P_1(n,t)}=\sum_{n\geq0}{A e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}}=A=1$$

La soluzione della master equation per la clessidra è

$$P_1(n,t)=\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}$$

Essa rappresenta una distribuzione poissoniana. Calcoliamo il valor medio di $n$

$$\left< n(t) \right>=\bar n(t)=\sum_{n\geq 0}nP_1(n,t)=\lambda t \sum_{n\geq 1}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda t}=\lambda t$$

Il numero di granelli che ad un certo istante si trovano nel recipiente inferiore è una misura diretta del tempo trascorso, per questo la clessidra funziona come un orologio.

Le fluttuazioni di $n$ sono:

$$\left< n^2(t) \right>=\sum_{n \geq 0}{n^2P_1(n,t)}=\sum_{n \geq 0... ...bda t}+n\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}\right)=(\lambda t)^2+\lambda t$$

e perciò:

$$\delta n = \sqrt{\lambda t}$$

determina la larghezza della distribuzione.

L'accuratezza relativa della clessidra usata come orologio è data da:

$$\frac{\delta n}{\bar{n}}=\frac{1}{\sqrt{\lambda t}}$$