Equazione di Fokker-Planck

Il punto di partenza è la master equation:

$$\dot{P}_1(y,t)=\int{dy'\big(P_1(y',t)W_t(y'\vert y)-P_1(y,t)W_t(y\vert y') \big)}$$

definiamo le probabilità di transizione

$$W_t(y\vert y')=W_t(y,\xi)$$

$$W_t(y',y)=W_t(y',-\xi)$$

con $\xi=y'-y$ Assumiamo che la funzione $W_t(y,\xi)$ sia diversa da zero solo per $\xi \approx 0$ ossia quando $y$ e $y'$ sono abbastanza vicini. Otteniamo

$$\dot{P}_1(y,t) =-P_1(y,t)\int{W_t(y,\xi)\, d\xi}+\int{P_1(y+\xi,t) W_t(y+\xi\vert-\xi)\, d\xi}$$ (4.24)

$$=-P_1(y,t)\int{W_t(y,\xi)\, d\xi}+\int{\, P_1(y-\xi,t)W_t(y-\xi,\xi)d\xi}$$

Se utilizziamo l'assunzione fatta sopra possiamo espandere la quantità nel secondo integrale per $\xi$ piccoli fino al second'ordine:

$$P_1(y-\xi,t)W_t(y-\xi,\xi)=P_1(y,t)W_t(y,\xi)-\xi \frac{d}{dy}\big( P_1(y,t)W_t(y,\xi)\big)+$$

$$+\frac{1}{2}\xi^2 \frac{d^2}{dy^2} \big ( P_1(y,t)W_t(y,\xi)\big)$$

Sostituendo questa espressione nella master equation 4.25 otteniamo:

$$\dot{P}_1(y,t)=-P_1(y,t)\int{W_t(y,\xi)\, d\xi} + P_1(y,t)\int{W_t(y,\xi)\, d\xi}$$

$$-\frac{d}{dy}\int{W_t(y,\xi)P_1(y,t)\xi \, d\xi}+\frac{1}{2}\frac{d^2}{dy^2}\int{\xi^2 W_t(y,\xi)P_1(y,t)d\xi}$$

da cui otteniamo infine l'equazione di Fokker-Planck:

$$\frac{d}{dt}P_1(y,t)=-\frac{\partial}{\partial y}\left( D_1(y,t)P_1(y,t)\right)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left( D_2(y,t)P_1(y,t)\right)$$ (4.25)

dove abbiamo introdotto le quantità $D_1$ e $D_2$ definite come segue:

$$D_1(y,t)= \int{\xi W_t(y,\xi)d\xi}$$ (4.26)

$$D_2(y,t)= \frac{1}{2} \int{\xi^2 W_t(y,\xi)d\xi}$$

Il significato di $D_1(y,t)$ diventa chiaro se introduciamo l'intervallo di tempo infinitesimo $\Delta t$ e chiamiamo $\xi=\Delta y$ , infatti possiamo riscrivere

$$D_1(y,t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta t}\int{\Del... ...\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\left<\Delta y\right>_{\Delta t}}{\Delta t}$$

dove con $\left<\Delta y\right>_{\Delta t}$ denotiamo il valor medio della variazione $\Delta y$ nell'intervallo $\Delta t$ . In modo analogo per $D_2$ si trova

$$D_2(y,t)=\frac{1}{2}\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\left <\Delta y^2\right >_{\Delta t}}{\Delta t}$$

Ora possiamo specializzare l'equazione di Fokker-Planck alla diffusione.