Moltiplicatori di Lagrange

Sia $f(x_1,\ldots,x_N)$ una funzione definita in $\mathbb{R}^N$ e sia $\Gamma$ una varietà di $\mathbb{R}^N$ con dimensione $N-k$ definita dai vincoli

$$g_1(x_1,\ldots x_N)=0$$ (5.1)

$$\vdots$$

$$g_k(x_1,\ldots x_N)=0 \nonumber$$

Definiamo la funzione di Lagrange $F$ :

$$F(x_1,\ldots x_N,\lambda_1,\ldots \lambda_N)=f(x_1,\ldots x_N)-\lambda_1g_1(x_1,\ldots x_N)-\ldots \lambda_k g_k(x_1,\ldots x_N)$$

Allora i punti stazionari di $F$ sulla varietà $\Gamma$ sono definiti da:

$$\frac{\partial F}{\partial x_i}=$$ 0 (5.2)

$$g_i=$$ 0

dove i coefficienti $\lambda_1,\ldots \lambda_k$ sono detti moltiplicatori di Lagrange.