Probabilità delle fluttuazioni spontanee: calcolo teorico

Supponiamo di avere un gas in equilibrio che occupa un volume $V$ ad esempio l'aria in una stanza. Qual'è la probabilità che per effetto delle fluttuazioni spontanee il gas lasci libero uno spazio di volume $v$ all'interno della stanza?

Figura 5.2: Configurazioni di equilibrio 1 e di vuoto spontaneo 2

Bisogna calcolare la probabilità che ha la configurazione 2 in rapporto alla configurazione 1.

Configurazione 1

$$\Omega \{n_i\}=\frac{N!}{n_1!\ldots n_k!}$$

Configurazione 2

$$\tilde \Omega \{\tilde n_i\}=\frac{ N!}{\tilde n_1!\ldots \tilde n_k!}$$

La probabilità che si realizzi la configurazione 2 è la seguente:

$$P=\frac{\tilde \Omega}{\Omega}=e^{(\log\tilde \Omega -\log \Omega)}$$

$$\log \tilde \Omega -\log \Omega = \sum n_i \log n_i - \sum \tilde n_i \log \tilde n_i$$ (5.19)

dove $n=f\, d^3r \, d^3v=f \omega$ differisce da $\tilde n$ attraverso il volume $V$ , infatti $\tilde n_i=\tilde f \, d^3\, d^3v=\tilde f \omega$

$$f=\frac{N}{V}\left( \frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}e^{-\frac{mv^... ...rac{N}{\tilde V}\left( \frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}$$

In altri termini

$$\frac{\tilde n}{n}=\frac{\tilde f}{f}=\frac{V}{\tilde V} \quad \Leftrightarrow \quad \tilde f \tilde V=fV$$

Sostituiamo le somme con integrali, allora,

$$\log \tilde \Omega -\log \Omega=\int_V d^3r \int d^3 v f \log f \omega - \int_{\tilde V}d^3 r d^3v \tilde f \log \tilde f \omega$$

$$= VA \int{d^3v e^{-\beta m/2v^2}\log f \omega}-\tilde V \tilde A \int{d^3v e^{-\beta m/2 v^2}\log \tilde f \omega}$$ (5.20)

$$=\log \frac{\tilde V}{V} \int{d^3 r d^3 v f} = \left( \log \frac{\tilde V}{V}\right) N$$

Sappiamo che $\tilde V=V-v$ quindi

$$\log \frac{\tilde V}{V}=\log{(1-v/V)}\approx -\frac{v}{V}$$

quando $v \ll V$ . In questo caso troviamo che

$$\log \tilde \Omega -\log \Omega = -\frac{v}{V}N$$

che mettendolo nella probabilità fornisce

$$P=e^{-\frac{v}{V}N}$$

Calcolando questa probabilità con i dati tipici relativi al volume di una stanza e di densità dell'aria di $10^{19}$ particelle per cm$^3$ si trova che

$$P=e^{-10^{19}}\approx 10^{-76}$$

se supponiamo che questa fluttuazione duri un secondo per essere vista allora si deve aspettare in media circa $10^{59}$ volte la vita dell'universo per osservare tale fenomeno. Con questo breve calcolo è semplice capire l'irreversibilità dei fenomeni fisici naturali.