Leggi di conservazione

Sfruttando le leggi di conservazione delle quantità coinvolte nei processi di urto binario elastico trattati precedentemente è possibile derivare una funzione di distribuzione statistica per le velocità. Partendo dalla condizione di equilibrio 1.20 e prendendone il logaritmo, è possibile definire delle quantità che si conservano:

$$\log{f_1}+\log{f_2}=\log{f_1^\prime}+\log{f_2^\prime}$$

Definisco $\chi (\vec v) \equiv \log{f_0(\vec v)}$ , allora:

$$\chi (v_1) + \chi(v_2)= \chi (v_1^\prime) + \chi(v_2^\prime)$$ (1.27)

La relazione 1.27 esprime una legge di conservazione, in particolare la $\chi \propto v$ esprime una quantità fisica che si conserva, poichè nelle collisioni binarie le uniche quantità che si conservano sono massa, quantità di moto ed energia cinetica allora tutte queste quantità possono essere scelte per $\chi$ :

Massa

$m_1 + m_2 = m_1 + m_2$ , durante una collisione si conserva: $\chi = a$ .

Quantità di moto

$\vec v_1 + \vec v_2 = \vec v_1^\prime + \vec v_2^\prime$ scelgo $\chi = \vec b \cdot \vec v$ .

Energia cinetica

$v_1^2 + v_2^2 = v_1^{2\prime} + v_2^{2\prime}$ $\chi=cv^2$ .

Scelta una combinazione

$$\chi = a + \vec b \cdot \vec v + c v^2$$

si dimostra che una conseguenza dell'equazione di Boltzmann all'equilibrio è che $f_0(v)=e^\chi=e^{a + \vec b \cdot \vec v + c v^2}$ è una soluzione. Questa tuttavia non risulta la forma più astuta, conviene infatti scrivere:

$$f_0(v)=Ce^{-A(\vec v-\vec v_0)^2}$$ (1.28)

Questa scelta mantiene lo stesso numero di parametri (tre come sopra) e rappresenta la prima forma della funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Queste costanti possono essere determinate da condizioni di normalizzazione, in particolare denotando con $n$ la densità spaziale di particelle che all'equilibrio vale $N/V$ si può trovare che:

$$N=\iint{f_0 d\vec r d \vec v}=VC\int{e^{-A(\vec v - \vec v_0)^2}d\vec v}=VC \int{e^{-Au^2}d\vec u}= VC{\left( \frac{\pi}{A} \right)}^{3/2}$$ (1.29)

e quindi la densità risulta $n=N/V=C\pi^{3/2}A^{-3/2}$ . Il parametro $C$ vale

$$C=\left( \frac{A}{\pi}\right )^{3/2}n$$

.

Il valor medio della velocità si ottiene in generale eliminando la dipendenza dalla posizione, integrando quindi solo sulle velocità:

$$\left< \vec v \right> = \frac{\int{\vec v e^{-A(\vec v - \vec v_0)^2}d \vec v}}{\int{e^{-A(\vec v - \vec v_0)^2}d \vec v}}$$ (1.30)

che con un cambio di variabile come sopra $\vec u= \vec v -\vec v_0$ risulta:

$$\left< \vec v \right> = \frac{C\int{(\vec u + \vec v_0) e^{-A(\vec u)^2}d \vec u}}{C\int{e^{-A(\vec u)^2}d \vec u}}=\vec v_0$$

sfruttando il fatto che il termine in $\vec u$ è nullo per parità mentre $\vec v_0$ è un numero ed esce dall'integrale. $\vec v_0$ rappresenta la velocità media del gas come velocità del centro di massa, in genere è posto uguale zero per comodità di notazione.

A partire dalla distribuzione all'equilibrio è calcolabile anche il valor medio dell'energia cinetica:

$$\left\langle E \right \rangle \equiv \frac{m}{2} \left< (\vec v -... ...{2}\frac{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{\pi}{A^3}}}{\sqrt{\frac{\pi}{A}}}=\frac{3m}{4A}$$ (1.31)

Il coefficiente A rappresenta la larghezza della gaussiana ed ha le dimensioni di $[\textrm{velocità}]^{-2}$ . Esso dipende dalla temperatura ed è legato all'energia cinetica media. Sostituendo $A$ nel valore del parametro $C$ si ottiene:

$$C=n \left( \frac{3m}{4 \pi \left\langle E \right \rangle} \right)^{3/2}$$

che dal prossimo paragrafo varrà, dato il valor medio dell'energia cinetica,

$$C=n \left(\frac{m}{2\pi k_BT} \right)^{3/2}$$